2022 вступительный экзамен в Матцентр ФМЛ 239

Поезд отправился из города С в 18:00 и прибыл в город М в 22:00. В пути поезд сделал одну остановку, а всё остальное время двигался с одинаковой скоростью. За первый час поезд проехал 180 км, за второй час - 150 км, а за третий час - 125 км. Найдите расстояние между городами.

На олимпиаду пришли 300 участников. Каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт. Их рассадили за 150 двухместных парт и у каждого спросили, кто его сосед. Каждый ответил: «Лжец». Докажите, что участников можно так пересадить, чтобы каждый из них на такой же вопрос ответил: «Рыцарь».

На доске записан длинный ряд из нулей и единиц. Саша заметил, что единица идёт после нуля ровно 16 раз, семь раз 0 идет перед 11, и восемь раз 10 идёт после 0. Какими могут быть две последние цифры в этой последовательности? (Не забудьте объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

В полоске из 30 клеток каждая клетка покрашена в синий или красный цвет. За один ход можно одновременно перекрасить любые три клетки подряд (каждую - из синего в красный, или из красного в синий). Кроме того, можно одновременно перекрасить первые две клетки; наконец, можно одновременно перекрасить последние две клетки. Верно ли, что из любой исходной раскраски всегда можно сделать полностью красную полоску?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) За какое минимальное количество ходов полностью синюю полоску из 30 клеток можно перекрасить в красную?

b) За какое минимальное количество ходов полоску, состоящую из 1 крайней синей клетки и 29 красных клеток, можно перекрасить в синий цвет?

c) Придумайте алгоритм с помощью которого полоску из 30 клеток с шахматной раскраской, когда цвета чередуются, можно гарантировано перекрасить так, чтобы 29 подряд идущих клеток имели один и тот же цвет. Какое минимальное количество ходов вам потребуется? 

Диме дали задание вырезать из клетчатого квадрата 19×19 двадцать девять клетчатых полосок 1×10. Верно ли, что в квадрате есть клеточка, которая останется нетронутой при любом таком вырезании?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое максимальное количество полосок 1×10 сможет вырезать Дима, если сначала он вырезал 19 вертикальных полосок 1×10?

b) Какое максимальное количество полосок 1×10 сможет вырезать Дима?

c) Какое максимальное количество полосок 1×10 сможет вырезать Дима, если одна из вырезанных полосок содержит центральную клетку квадрата 19×19?

На столе лежат 18 одинаковых кусков сыра. Разрешается взять любой из них, разрезать на несколько (два или более) равных по весу кусков и положить их на стол. Далее снова можно взять любой из лежащих на столе кусков, разрезать его на несколько равных кусков, положить их на стол и т. д. Как таким путем нарезать сыр на 66 кусков, чтобы его можно было поровну разделить на 33 человек?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какую часть от начального куска должен получить каждый человек?

b) Сколько кусочков сыра должен получить каждый человек?

c) Во сколько раз самый маленький кусок сыра, который у вас получился, меньше начального куска сыра?

В озере живет 400 рыб - караси, лещи, окуни и щуки. Ежегодно они устраивают бал-маскарад: каждый надевает маску рыбы другого вида (свою собственную маску надевать нельзя), причем два года подряд они одну и ту же маску не носят. Два года назад на балу было 120 «карасей» и 280 «лещей», год назад – 100 «карасей», 150 «окуней» и 150 «щук», а в этом году - 250 «карасей» и 150 «щук». Каких рыб в озере больше всего?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Каково наибольшее возможное количество настоящих щук?

b) Каково наибольшее возможное количество настоящих карасей?

c) Каково наибольшее возможное количество настоящих лещей?

d) Каково наименьшее возможное количество настоящих окуней?

Сколько различных чисел, в которых не менее 149 цифр, можно получить, вычёркивая цифры из числа 22…233…399…9 в котором 99 двоек, 99 троек и 99 девяток?