Курс добавлен 06.06.2023 Ответы еще не проверены экспертами и могут содержать ошибки
На доске написаны числа 100 и 200. Петя написал ещё одно натуральное число, и теперь сумма каждых двух чисел на доске делится на третье. Какое число мог написать Петя? Укажите все варианты и докажите, что других нет.
a) Верно ли, что 400! делится на число 179! + 180! + 181! нацело?
b) При каком наименьшем натуральном N число N! делится на число 179! + 180! + 181! нацело?
N! - это произведение всех целых чисел от 1 до N включительно, читается «эн-факториал».
На конвейер длиной 10 м натянута лента длиной 20 м, вращающаяся по кругу с постоянной скоростью. Робота-мойщика запустили с одного края ленты, и он, двигаясь с постоянной скоростью, успел отмыть 15 м ленты, после чего упал с другого края. Сколько метров ленты он успел бы отмыть на том же конвейере, если бы его запустили с той же скоростью в обратном направлении с другого конца ленты?
Даны 8 гирь весом 1, 2, …, 8 г. Ученики и учитель знают это, но гири с виду одинаковы, и лишь учитель помнит, где какая гиря. Он хочет одним взвешиванием на чашечных весах (показывают, равны ли чаши или какая тяжелее) объяснить ученикам хоть про одну гирю, каков её вес. Помогите ему это сделать.
Прямоугольная машинка припаркована у прямолинейного забора. Расстояние от ближнего колеса до забора равно 11 см, от двух соседних с ним - 41 см и 53 см. Сколько сантиметров от дальнего колеса машинки до забора?
У Пети есть 10 карточек, на каждой написана ненулевая цифра. Петя утверждает, что разделил карточки на две кучки и, поставив в каждой кучке карточки в ряд, получил два числа (из карточек первой кучки и из карточек второй), причём одно оказалось квадратом другого. Ошибся ли Петя?
Фигуру на рисунке разрежьте «по клеточкам» на три одинаковые фигуры (и по форме, и по площади).
В белом клетчатом квадрате 9 × 9 закрасили чёрным 8 клеток. Теперь из него хотят вырезать «по клеточкам» белый прямоугольник наибольшей площади. Какую наибольшую площадь можно гарантировать, где бы ни были закрашены 8 чёрных клеток?
Используя каждое из чисел 1, 2, 3, …, 20 ровно по разу либо как числитель, либо как знаменатель, составьте десять дробей, сумма которых - целое число. Достаточно привести пример.
На большой стене вдалеке от края висит круглая мишень, закрытая листом бумаги размером 2 × 2 метра. Ковбой хочет попасть в мишень, имея 10 пуль; он стреляет в любое место, какое захочет, без промаха. После каждого выстрела, начиная со второго, ему сообщают, точнее или нет был этот выстрел по отношению к предыдущему.
Докажите, что ковбой может наверняка попасть в мишень, при условии, что
a) радиус мишени - 25 см;
b) диаметр мишени - 25 см.
Стрелять можно в любую точку стены.
a) Финдус записал в клетки таблицы 10 × 10 произвольные числа и спрятал таблицу. Петсон за один вопрос узнаёт у Финдуса сумму чисел в любом клетчатом квадрате 6 × 6 или в любой клетчатой полоске толщиной в 1 клетку и длиной в 5 клеток. Сможет ли он с помощью таких вопросов узнать все числа таблицы - где какое стоит?
b) А если за один вопрос можно узнать сумму чисел в любом клетчатом квадрате 7 × 7 или в любой клетчатой полоске толщиной в 1 клетку и длиной в 6 клеток?
Дано натуральное число $n$. Петсон и Финдус играют в игру на клетчатой полоске длины 2023. Финдус ставит фишку на какое-то поле. Далее на каждом шаге Петсон выбирает натуральное число $k$, не большее $n$, а Финдус двигает фишку на $k$ клеток вправо или влево по своему выбору. Петсон выигрывает, если Финдус не может сделать ход. При каком наименьшем $n$ Петсон может гарантированно выиграть за конечное число ходов?