Курс добавлен 09.06.2023 Ответы еще не проверены экспертами и могут содержать ошибки
Коля и Оля одновременно выехали из А в Б на своих машинах по одной дороге, проходящей через промежуточный город М. На участке от А до М каждый ехал с постоянной скоростью, и на участке от М до Б тоже. Скорость Коли на участке АМ была больше скорости Оли на участке МБ, а скорость Коли на участке МБ - больше скорости Оли на участке АМ. Могла ли Оля быстрее приехать в Б?
Большой прямоугольник разрезан на меньшие прямоугольники (не обязательно с целыми сторонами), см. рис. Площади некоторых из них (в квадратных сантиметрах) указаны внутри. Какова площадь большого прямоугольника?
Десять карточек с надписями 1 г, 2 г, 4 г, …, 512 г наклеили по одной на 10 гирь с массами 1 г, 2 г, 4 г, …, 512 г, но возможно какие-то надписи перепутали (может даже все).
a) Как за 9 взвешиваний на чашечных весах, показывающих, какая чаша тяжелее, выяснить, была ли какая-то путаница (не важно, какая именно), или все надписи верные?
b) Удастся ли сделать это за 8 взвешиваний?
У барона Мюнхгаузена есть клетчатый лист бумаги 100 × 100, в каждой клетке которого записано число. Барон отметил центры всех клеток красными точками и сообщил: если три красные точки образуют треугольник, две стороны которого равны 7, то три числа, записанные в соответствующих клетках, дают в сумме ноль. Обязательно ли тогда во всех клетках записаны нули?
На плоскости даны 10 точек, некоторые из них соединены отрезками. Докажите, что можно рядом с каждой точкой написать натуральное число так, что соединенными отрезком окажутся те и только те пары точек, числа рядом с которыми будут иметь общий множитель, больший 1.
На клетчатой доске 8 × 8 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее.
a) Может ли после нескольких таких ходов добиться того, что в 63 клетках бактерий было поровну, а одна клетка пустовала?
b) Можно ли добиться того, что во всех 64 клетках бактерий было поровну?