Курс добавлен 06.06.2023 Ответы еще не проверены экспертами и могут содержать ошибки
a) Верно ли, что 400! делится на число 179! + 180! + 181! нацело?
b) При каком наименьшем натуральном N число N! делится на число 179! + 180! + 181! нацело?
N! - это произведение всех целых чисел от 1 до N включительно, читается «эн-факториал».
Даны 8 гирь весом 1, 2, …, 8 г. Ученики и учитель знают это, но гири с виду одинаковы, и лишь учитель помнит, где какая гиря. Он хочет одним взвешиванием на чашечных весах (показывают, равны ли чаши или какая тяжелее) объяснить ученикам хоть про одну гирю, каков её вес. Помогите ему это сделать.
У Пети есть 10 карточек, на каждой написана ненулевая цифра. Петя утверждает, что разделил карточки на две кучки и, поставив в каждой кучке карточки в ряд, получил два числа (из карточек первой кучки и из карточек второй), причём одно оказалось квадратом другого. Ошибся ли Петя?
В белом клетчатом квадрате 9 × 9 закрасили чёрным 8 клеток. Теперь из него хотят вырезать «по клеточкам» белый прямоугольник наибольшей площади. Какую наибольшую площадь можно гарантировать, где бы ни были закрашены 8 чёрных клеток?
На большой стене вдалеке от края висит круглая мишень, закрытая листом бумаги размером 2 × 2 метра. Ковбой хочет попасть в мишень, имея 10 пуль; он стреляет в любое место, какое захочет, без промаха. После каждого выстрела, начиная со второго, ему сообщают, точнее или нет был этот выстрел по отношению к предыдущему.
Докажите, что ковбой может наверняка попасть в мишень, при условии, что
a) радиус мишени - 25 см;
b) диаметр мишени - 25 см.
Стрелять можно в любую точку стены.
Дано натуральное число $n$. Петсон и Финдус играют в игру на клетчатой полоске длины 2023. Финдус ставит фишку на какое-то поле. Далее на каждом шаге Петсон выбирает натуральное число $k$, не большее $n$, а Финдус двигает фишку на $k$ клеток вправо или влево по своему выбору. Петсон выигрывает, если Финдус не может сделать ход. При каком наименьшем $n$ Петсон может гарантированно выиграть за конечное число ходов?