2023 вступительный экзамен в Матцентр ФМЛ 239

В 2023 норках, расположенных по кругу, живут мышки – серые и белые. Над входом в каждую норку написано, сколько серых и сколько белых мышек живут в этой норке. Однажды из каждой норки выбежало по одной мышке, и каждая перебежала в следующую по часовой стрелке норку. Докажите, что хотя бы над одной норкой надпись осталась верна.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) В каких случаях надпись над норкой останется верной?

1. Выбежала серая мышка, забежала белая.

2. Выбежала белая мышка, забежала серая.

3. Выбежала серая мышка, забежала серая.

Машина едет по прямой дороге, вдоль которой стоят десять домов. В полдень, когда машина еще не доехала до домов, сумма расстояний от нее до этих домов равнялась 14 км. Через некоторое время, когда машина уже миновала все дома, оказалось, что сумма расстояний от нее до домов равна 16 км. Какое расстояние проехала машина?

На доске написано число. Надя вычисляет сумму цифр записанного числа, запоминает последнюю цифру этой суммы, и заменяет одну из цифр числа на доске на эту последнюю цифру. После этого повторяет эту процедуру еще много раз. Например, из числа 239 (с суммой цифр 14) она может получить число 249, а из него - число 549, а из него - число 548.

Докажите, что если вначале на доске записано число 1135579, то Надя никогда не получит на доске число 1234567.

Каждое натуральное число (1, 2, 3, 4, и так далее) покрашено в один из трех цветов: красный, зелёный или синий, при этом есть хотя бы по одному числу каждого цвета. Может ли оказаться, что сумма любых двух чисел, покрашенных в разные цвета, не покрашена ни в один из этих двух цветов?

Артем и Борис на длинном скучном уроке играют в игру. Артем выписывает на полоске бумаги слева направо буквы Ш и В, добавляя по одной букве за один ход. После каждого хода Артема Борис либо согласно кивает головой, либо меняет местами какие-то две уже написанные буквы. Игра прекращается, когда Артем напишет 2023-ю букву (а Борис либо согласится, либо сделает перестановку). Может ли Борис действовать так, чтобы в итоге получился палиндром из 2023 букв? (Палиндром – это последовательность, которая читается одинаково слева направо и справа налево, например, ШШВШВШШ.)

Хвастливый рыбак каждый день, начиная с 1 сентября, ловил рыбу. Начиная с 1 октября, он каждый день говорил жене одну и ту же фразу: «Сегодня я поймал рыб больше, чем позавчера (2 дня назад), но меньше, чем 9 дней назад». Какое наибольшее количество дней подряд он мог говорить правду?

Дима расставил в клетках квадрата 100×100 числа от 1 до 10000 по одному разу. Он утверждает, что если ему укажут любой столбец и любую строку, он сможет выбрать из этого «креста» три числа, одно из которых равно произведению двух других. Может ли это быть правдой?

Шестнадцать одинаковых с виду монет разложены по 8 штук на две чаши весов так, что весы в равновесии. Некоторые монеты весят 9 грамм, а остальные – 10 грамм (и те и другие монеты присутствуют). За одну операцию можно поменять местами любые две группы из одинакового числа монет. Как наверняка нарушить равновесие, сделав не более пяти операций?