2024 вступительный экзамен в Матцентр ФМЛ 239

Для того, чтобы сработало Страшное Проклятье, Волдеморт хочет составить белый куб 2 × 2 × 2 из восьми одинаковых белых кубиков. Гарри Поттер собирается испачкать некоторые грани у некоторых кубиков чёрной краской, чтобы помешать ему составить куб, полностью белый снаружи. Помогите Гарри Поттеру сделать это, испачкав как можно меньше граней кубиков. Сколько граней для этого потребуется испачкать?

Не забудьте пояснить, почему испачкать меньшее количество граней недостаточно!

В вершинах A и С прямоугольника ABCD сидели два жука. Они одновременно начали ползти по сторонам прямоугольника каждый со своей постоянной скоростью: из вершины A – по часовой стрелке, а из вершины C – против часовой стрелки. В первый раз они встретились в вершине B, а второй раз – в вершине C. Найдите длину стороны AD, если длина CD равна 15 см.

Детали пазла – квадраты с одинаковыми выступами и вырезами. Есть 71 чёрная деталь и 29 белых деталей (см. рисунок). Их можно поворачивать и переворачивать. Можно ли сложить из них квадрат 10 × 10? (Детали не должны накладываться друг на друга и образовывать дырки внутри квадрата; однако, на его краях могут быть выступы и вырезы.)

Вдоль прямой улицы стоят 10 столбов. Сергей долго гулял по этой улице и для каждой пары столбов измерил расстояние между ними. В результате у него получилось 45 расстояний (в метрах). Сергей записал их в тетрадку по возрастанию – от самого маленького числа к самому большому (некоторые расстояния могли оказаться одинаковыми, и тогда в тетрадке появится несколько одинаковых чисел подряд). Первые восемь чисел в тетрадке оказались такими: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. А последнее число оказалось равно 44. Каково девятое число в тетрадке? (Объясните, почему других вариантов не может быть.)

Дима спрятал в одной из трех коробочек конфетку, а Витя хочет найти эту коробочку. Дима согласен отвечать на вопросы: "лежит ли конфетка в первой коробочке?", "лежит ли конфетка в второй коробочке?", "лежит ли конфетка в третьей коробочке?". Задавать эти вопросы можно много раз, и Дима отвечает на них "Да" или "Нет". При этом он может соврать, но не более 15 раз. Может ли Витя, задав не более 50 вопросов, точно узнать, в какой коробочке конфетка?

Двадцать два футболиста сыграли три тренировочных игры (разбиваясь каждый раз на две команды по одиннадцать человек). Докажите, что какие-то два футболиста все три раза играли в разных командах.

Петя и Вася задумали по три различных натуральных числа, не превосходящих 1000. Оказалось, что произведение Петиных чисел равно произведению Васиных. Может ли сумма Петиных чисел быть ровно на 2000 больше суммы Васиных?

На столе стоят 100 коробок, помеченных номерами 00, 01, 02, ... , 98, 99. Кроме этого, на столе лежит стопка из 1000 карточек с номерами 000, 001, 002, ... , 998, 999. Класть карточку в коробку разрешается, если номер коробки можно получить, стерев одну цифру из номера карточки. Например, разрешается положить карточку 037 в коробку 07, но нельзя положить карточку 156 в коробку 65. Можно ли разложить все карточки по коробкам так, чтобы ровно половина всех коробок оказались пустыми?