2020 вступительный экзамен в Матцентр ФМЛ 239

XXVIII открытая олимпиада Санкт-Петербургского Математического Центра при Президентском ФМЛ №239 для учеников 5 класса (октябрь 2020). В первой части требуется решить и устно объяснить решение 5 первых задач. Те, кто успешно прошел первую часть, получают 3 дополнительные задачи. Общая продолжительность 3.5 часа. По итогам олимпиады производится прием в кружки математического центра.

01
В степи растут дуб, тополь и липа. От дуба до ближайшего из двух других деревьев 2 км, от липы до ближайшего из двух других деревьев 3 км. Каким может быть расстояние от тополя до ближайшего из двух других деревьев? Перечислите через запятую все возможные варианты. Ответы указывайте в метрах. Обоснуйте почему другие ответы невозможны.
Тема: (код задачи: 2603)
02
В детский сад ходят 100 девочек. У Маши есть 100 конфет, а у остальных девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете любым двум другим девочкам. Можно ли сделать так, что все конфеты окажутся у Светы?
Тема: (код задачи: 2604)
да
нет
03
3787Q.JPG

Оригинальная задача. Каждую грань большого кубика разделили на 4 квадратика. Квадратики называются соседними, если у них есть общая сторона. Например, на рисунке квадратики А и В соседние, квадратики В и С тоже соседние. Каждый квадратик покрасили в один из трех цветов: синий, желтый или красный. При этом любые два соседних квадратика оказались разного цвета. Докажите, что синих квадратиков оказалось ровно 8.

Дополнение от Minimath239: Выберите утверждение которое, на ваш взгляд, можно взять за основу доказательства.
Тема: (код задачи: 3787)
В большом кубике 24 квадратика. Делим на 3 цвета и получаем 8
Каждый маленький кубик должен быть окрашен в 3 цвета
04
26 школьников класса (13 мальчиков и 13 девочек) выстроились в ряд по убыванию роста (слева - самый высокий школьник класса): МММДДМММДДДММДДДДДММММДМДД. Могут ли они образовать 12 пар для танца так, чтобы в каждой паре мальчик был выше девочки?
Тема: (код задачи: 3788)
да
нет
05
Шахматный король хочет обойти все клетки доски 10 × 10 по одному разу (начав с какой-нибудь клетки и закончив на какой-то другой). Сможет ли он сделать это, если будет чередовать горизонтальные ходы с вертикальными (и не будет делать диагональных)?
Тема: (код задачи: 3712)
да
нет
06
Леша позвал на день рождения трeх гостей. Войдя в комнату, гости увидели на столе торт, как-то разрезанный на 10 кусков. Верно ли, что какими бы ни были эти куски, Леша сможет выбрать один из них, разрезать его на три части и получившиеся 12 кусков раздать трeм гостям поровну?

Решение:
Пусть T это весь торт. После разрезания его на 12 кусочков каждый гость должен получить по трети от всего торта. Т.е. 1/3 от Т или T/3.
Возьмем 2 самых крупных куска из первых 10 кусков.
Возможны ситуации:
1. Оба куска больше, чем T/3
2. Один кусок больше или равен T/3, другой меньше или равен T/3
3. Оба куска меньше, чем T/3
В случае 1 замечаем проблему с разрезанием. У нас целых 2 куска, которые нужно уменьшать. В противном случае, кто-то из гостей получит кусок, который больше, чем T/3. Но по условиям задачи мы можем разрезать только один кусок.
Таким образом мы нашли ситуацию, когда Леша не сможет выбрать и разрезать кусок так, чтобы из получившиеся 12 кусков можно было раздать гостям поровну.
Для уверенности найдем примеры такой ситуации:
Пример: 2 куска по 11/30 и 8 кусков по 1/30. Проверка: (2*11+8)/30 = 30/30
Тема: (код задачи: 3713)
да
нет
07
Можно ли расставить числа от 1 до 2222 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?
Тема: (код задачи: 3789)
да
нет
08
На прямой отмечено 20 точек. На каждой из отмеченных точек написана сумма расстояний от неe до всех остальных отмеченных точек. Могут ли написанные числа быть двадцатью последовательными целыми числами в каком-то порядке? (Расстояния между точками - не обязательно целые числа).
Тема: (код задачи: 3711)
да
нет


Обучение по программе minimath239

Структурированная методика подготовки к поступлению в 5 класс физмат-школ с помощью тренажера и online преподавателей.

  • 120 уроков для подготовки к 1 туру ФМЛ 239.
  • 7 уроков для подготовки к 2 туру ФМЛ 239.
  • Марафоны контрольных.
  • 8000 задач.

Для начала обучения необходимо послать заявку на проведение ознакомительного урока на e-mail: minimath239@yandex.ru или телеграмм: +7 (981) 682-86-83.

Стоимость занятий с преподавателями minimath239.

  • 1500 руб. за индивидуальное занятие или ознакомительный урок.
  • 2000 руб. за группу из 2-х учеников.
  • 2500 руб. за группу из 3-х учеников.

Результаты нашей работы.

  • За сезон 2021/22 тут. Во 2-й тур ФМЛ 239 прошли 4 человека, набравшие в 1-м туре 50, 45, 39 и 33 балла из 60 возможных.
  • Итоги предыдущих сезонов: за 2021, за 2020, за 2019.
  • Отзывы родителей: тут.

Статьи о ФМЛ 239.

О тренажере minimath239.

  • Проект стартовал в 2018 году.
  • В базе 100 оригинальных экзаменов в 5-е классы.
  • 2500 подсказок по популярным неправильным ответам.
  • Сбор статистики по всем введенным ответам.
  • Отчет «Результаты», доступный всем, даже незарегистрированным ученикам.
  • 170 000 проверенных ответов за сезон 2021/22.
  • Пиковая посещаемость около 500 учеников в день.