2018 вступительный экзамен в Матцентр ФМЛ 239

На прямой расположено пять точек – A, B, C, D, E (именно в таком порядке). Расстояние от A до B равно 19 см, расстояние от C до E равно 97 см, а длина отрезка AC равна длине отрезка BD. Найдите длину отрезка DE. Не забудьте обосновать ответ.

Дополнения от minimath239:

• легкая задача

У Антона есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 239?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Можно ли на таком калькуляторе получить из числа 1 число 2 за 3 операции?

b) Можно ли из числа 2 получить число 239?

Клетчатый квадратный лист размером 10 х 10 покрашен в белый цвет, Дима может произвольным образом выделить на этом листе клетчатый квадрат 6 х 6 и перекрасить все клетки этого квадрата: белые в черный цвет, а черные - в белый цвет. Сможет ли Дима с помощью нескольких таких операций получить шахматную раскраску клеток листа 10 × 10 (т. е. раскраску, в которой любые две соседние по стороне клетки покрашены в разные цвета)?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) сможем ли мы сделать шахматную расскраску большого квадрата, если меньший квадрат будет не 6 x 6, а 9 x 9?

Артисты Арнольд, Сильвестр и Чак снялись в одинаковом количестве фильмов. Всего с их участием было снято 59 фильмов, причем ни в одном из них они не снимались втроем. Фильмов, в которых Арнольд снимался вместе с Чак, в 5 раз меньше, чем фильмов, в которых он снимался вместе с Сильвестром. Фильмов, в которых Чак снимался вместе с Арнольдом, в 5 раз больше, чем фильмов, в которых он снимался с Сильвестром. В скольких фильмах снялся Чак?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Пусть фильмов снято не 59, а 100 и пусть Чак с Сильвестром снялись вместе только в 1 фильме. В каком количестве "парных" фильмов снялся Арнольд?

b) Пусть фильмов снято не 59, а 100 и пусть Чак с Сильвестром снялись вместе только в 2 фильмах. В каком количестве "парных" фильмов снялся Арнольд?

c) Найдите количество фильмов в которых снялся Чак, если известно что:

• фильмов снято не 59, а 100;
• нам ничего не известно про количество "парных" фильмов, в которых снялся Арнольд;
• Сильвестр снялся в 60 фильмах. 

Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи, В каждой паре идут, взявшись за руки, мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 1000 орехов?

25 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у которого левый сосед выше правого.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) 4 школьника стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Обязательно ли найдется школьник, у которого левый сосед выше правого?

b) 5 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Обязательно ли найдется школьник, у которого левый сосед выше правого?

Илье подарили 68 монет, разных по весу. У него есть весы, при помощи которых можно сравнить предметы, лежащие на двух чашках. Как Илье за 100 взвешивании найти самую тяжелую и самую легкую монеты?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Чтобы найти самую легкую из 68 разных по весу монет, применили такой способ:

• Взвесили 2 монеты и нашли ту, которая легче другой.
• Взвесили ее с другой монетой и снова нашли ту, которая легче другой.
• Далее продолжили взвешивания аналогичным образом.

Какое количество взвешиваний потребуется, чтобы найти самую легкую монету?

b) Чтобы найти самую легкую из 68 разных по весу монет, применили такой способ:

• Взвесили 2 монеты и нашли ту, которая легче другой.
• Взвесили другие 2 монеты и нашли ту, которая легче другой.
• Сделав 34 взвешивания, нашли 34 монеты, среди которых точно находится самая легкая монета.
• Далее сделали 17 взвешиваний и нашли 17 монет, среди которых точно находится самая легкая монета.
• Далее сделали 8 взвешиваний разных монет и нашли 9 монет, среди которых точно находится самая легкая монета.
• Далее продолжили взвешивания аналогичным образом.

Какое количество взвешиваний потребуется, чтобы найти самую легкую монету?

В стране некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что из любого города можно по дорогам добраться до любого другого. Из городов А и В выходит по две дороги, а из любого из остальных городов одна или три. Докажите, что можно закрыть на ремонт несколько дорог таким образом, что из каждого города будет выходить одна или три дороги

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Добавим к основной задаче дополнительное условие. Пусть города А и B соединены друг с другом прямой дорогой. Какое минимальное количество дорог потребуется удалить, чтобы выполнить условие основной задачи?

b) Добавим к основной задаче дополнительное условие. Пусть города А и B не соединены друг с другом прямой дорогой. Какое количество действующих дорог может выходить из каждого города, если отправить в ремонт все дороги, лежащие на пути из города A в город B? В ответе перечислите через запятую все возможные варианты.