Примеры 12 из 391 задачи учебника "Математика 3 класс часть 1" по методике Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова

На странице показаны примеры задач, которые отличают данный учебник от других.

a) Измерь площади A, B меркой E. Выбери для этого удобные промежуточные мерки. Построй схемы и составь по ним выражения для вычисления площадей A и B.

Решение. Обсуждение на уроке:

• Сначала устанавливается, что фигуры с площадями A и B можно разбить на одинаковые части, которые удобно использовать в качестве промежуточных мерок.
• Эти промежуточные мерки T и K зарисовываются и обозначаются, после чего производятся необходимые измерения (подсчет клеток и полосок).
• Заполняются схемы, по ним составляются выражения для вычисления площадей А и В.
• Числа в выражениях получились «большими», поэтому посчитать, сколько мерок Е уместилось в этих площадях, без калькулятора трудно. Предлагается заранее определить, какое из чисел должно быть больше. Проверка высказанных предположений пока откладывается.

b) Измерь площадь C меркой E двумя способами, по-разному выбирая промежуточные мерки. Покажи это на схемах. Составь выражения для вычисления площади C.

Решение. Обсуждение на уроке:

• Устанавливается, что измерять площадь С прямоугольника можно двумя способами:
  • выбрав в качестве промежуточной мерки площадь либо горизонтальной,
  • либо вертикальной полоски.
• Причем дети могут заметить, что это те же самые мерки, что и в задании а), поэтому они уже обозначены.
• Одна часть класса работает одним способом, другая — другим. Заполняются схемы, составляются выражения для вычисления площади С.

c) Сравни площади A, B и C. Проверь результаты сравнения, вычислим эти площади с помощью калькулятора. Какой вывод можно сделать?

Решение. Обсуждение на уроке:

• Полученные разными группами выражения сравниваются между собой. Уточняется, что обе группы измеряли одну и ту же площадь С.
• Разными были промежуточные мерки, но основная мерка была та же самая. Поэтому в обоих случаях должно получиться одно и то же число.
• Далее выясняется, что одна группа получила то же выражение, что и для вычисления площади А, а другая — такое же, как и для вычисления площади В. Поэтому все три площади равны.
• На калькуляторе проверяется, что оба способа вычислений действительно дают один и тот же результат.
• Обращается внимание на сами выражения: они состоят из одних и тех же множителей, только порядок у них разный. А всегда ли произведения, состоящие из одинаковых множителей, но расположенных в разном порядке, равны? Скорее всего,
  дети скажут, что такие произведения будут всегда равны. Предлагается проверить это, выполняя следующие задания.

а) Из синего, серого и белого прямоугольников составь новый прямоугольник. Найди два способа измерения его площади К меркой Е. Выбери для этого удобную промежуточную мерку.

Решение. Обсуждение на уроке:

• Выясняется, что все прямоугольники разбиваются на вертикальные полосы шириной в одну клетку. Поэтому площадь (М) одной полосы можно взять в качестве промежуточной мерки. Составляется новый прямоугольник, равный сумме площадей трех заданных.
• Устанавливается, что его площадь K можно вычислять двумя способами.
  • Во-первых, как целое, состоящее из частей А, В и С.
  • Во-вторых, можно K измерить сразу, воспользовавшись промежуточной меркой
    М, но для этого надо посчитать, сколько раз М умещается в K.
• Оба способа представляются в соответствующих схемах, по ним составляются выражения для вычисления K.

Покажи оба способа на схемах и составь соответствующие выражения для вычисления площади K.

Решение. Обсуждение на уроке:

• Выясняется, что в обоих случаях измерялась одна и та же величина одной и той же меркой Е, только разными способами.
• Поэтому, хотя программы вычислений (выражения) получились разными, в результате получится одно и то же число.
• Записывается равенство двух выражений:
  $$7 · (9 + 8 + 6) = (7 · 9) + (7 · 8) + (7 · 6)$$
• Оно проверяется с помощью калькулятора.
• Обсуждаются способы вычисления, которые описываются обоими выражениями. В одном случае мы число умножили сразу на сумму чисел, а в другом это же число умножили на каждое слагаемое по отдельности и только затем сложили полученные
  произведения. Результат получается один и тот же.
• Мы открыли правило умножения числа на сумму. 

a) Определи случаи, в которых измерение велось нерациональным способом. Исправь на рациональный.

Рекомендации из методики:

• Главной задачей работы является оценка остатка. Поэтому можно не выполнять вычисления длины — важно построить отрезки соответствующей длины и через построение проверить свои предположения.

b) Используя мерку Е, построй отрезки соответствующей длины.

Объясни, как найти неизвестные «сказочные» числа, и сделай выводы об умножении и делении многозначных чисел на 10.

Рекомендации из методики

• В 2х предыдущих упражнениях мы, используя троичную систему счисления, совместно установили, что при умножении основания системы счисления на многозначное число (в этой же системе счисления) достаточно приписать к данному многозначному числу цифру 0.
• В этом задании подводятся итоги проделанной работы. Устанавливается, что «сказочные» числа записаны в десятичной системе счисления. Находятся произведение и частное, делаются выводы об умножении и делении многозначных чисел на 10.

Объёмы воды измеряли кружкой и банкой. Вычисли двумя способами используя схемы:

• сколько кружек воды содержится в двух сосудах вместе;
• на сколько кружек воды больше в одном сосуде, чем в другом.

Рекомендации из методики

• Напоминается предметная ситуация применения распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания.
• Анализируя заданные схемы, учащиеся сообщают, что промежуточная мерка K содержит 9 основных мерок Е.
• Сразу понятно, что воды больше в первом сосуде.
• Составляются два выражения, позволяющие вычислить двумя способами ответ на первый вопрос. Отмечается, что в обоих случаях без калькулятора пока обойтись трудно (хотя и можно). Записываются два способа поиска разности объемов, один из которых значительно проще другого. Вычисления на калькуляторе
  подтверждают равенство значений выражений.

задача 226

На сколько частей разбиты площади A и B? Измерь каждую часть меркой E. Построй схемы и составь выражения для вычисления площадей A и B.

Какую из площадей можно вычислить другим способом? Покажи это на стрелочной схеме и по ней составь новое выражение для вычисления площади.

Рекомендации из методики

• Выясняется, что площади обоих многоугольников разбиты на 5 частей. В каждом случае части измеряются меркой Е, заполняются схемы, составляются выражения для вычисления площадей А и С и находятся их значения.
• Этот способ вычисления целого не зависит от того, равны части или нет. Но в случае, когда части равны, есть другой способ вычисления площади. Тогда одна из равных частей может рассматриваться как промежуточная мерка. Заполняется соответствующая схема, по ней составляется новое выражение для
  вычисления площади и находится его значение.
• Таким образом, значение целого, состоящего из равных частей, можно вычислить двумя способами:
  • сложить значения всех частей;
  • значение одной из равных частей умножить на число частей.
• Теперь схему умножения можно прочитать и так:
  • «Произведение показывает значение целого, составленного из равных частей, первый множитель показывает значение одной такой части, а второй множитель — число этих частей».
• Делается вывод: чтобы найти целое, состоящее из равных частей, можно часть умножить на число частей.

Измерь площади фигур меркой E. Для этого разбей их на подходящие части и составь выражение для вычисления площади.

Рекомендации из методики

• Первая фигура легко разбивается на четыре равные части (восьмиугольники). Поэтому, измерив площадь одной такой части, можно найти площадь всей фигуры, причем двумя способами:
  $$7 + 7 + 7 + 7 = 28, \; 7 · 4 = 28$$
• Вторая фигура получается из первой добавлением еще одного куска. Поэтому ее площадь состоит из четырех равных частей по 7E и еще одной части 2E. При составлении выражения для вычисления площади второй фигуры можно воспользоваться уже имеющимися выражениями и полученным результатом, где выражение, выделенное фигурной скобкой, равно 28:

$$\underbrace{7 + 7 + 7 + 7}+2 = 30$$

$$\underbrace{7 * 4}+2 = 30$$

• Обсуждается способ вычисления площади, описанный вторым выражением: сначала с помощью умножения находится часть площади, которая состоит из четырех равных кусков, а затем к ней добавляется оставшаяся отличная от них часть.

Задача ловушка. По чертежу построй схему. Составь задачи о яблоках в вазах. Реши эти задачи.

Дополнения от minimath239:

• Задача ловушка означает, что в условии задачи может быть ошибка и задача может не иметь решения.

Рекомендации из методики

• В случае 4) стрелочную схему построить нельзя, так как искомая часть не равна двум другим. Здесь надо построить схему частей и целого
• После записи решения каждой задачи полезно предложить учащимся сделать условный рисунок, на котором должно быть изображено нужное число ваз с соответствующим числом яблок. При этом окажется, что в первых двух задачах получается равное общее количество яблок, но разложены они на тарелки по разному:

Составь три равенства к первой схеме и три уравнения - ко второй. Отметь в них  произведения.

Рекомендации из методики

• В заданной схеме отмечается произведение. Составляются равенства по заданной основе: сначала с умножением, потом с делением. В каждом равенстве отмечается произведение.
• Чем отличаются два столбика записей? Конечно, дети заметят различие букв и чисел. Но в качестве главного отличия принимается то, что во втором столбике записаны
  уравнения, в которых неизвестное число можно вычислить с помощью других чисел уравнения

Разберись в схемах. Определи, какие объёмы измерялись. Какие мерки использовались? Объясни, для вычисления каких величин составлены выражения.

Рекомендации из методики

• Работа выполняется при закрытых учебниках. Учитель ставит перед учащимися объемы воды А и В, сообщает, что их измерили основной и промежуточной мерками (показывает их). Значит, это можно описать треугольными схемами. Дети рисуют их.
• Учитель сообщает, сколько основных мерок (стаканчиков) оказалось в каждом объеме и сколько основных мерок в промежуточной мерке — кружке. Учащиеся дополняют схемы до вида на рис. 1.
• Сюжет продолжается. Воду сольют в один сосуд, и получится объем Т. Нужно узнать, сколько кружек в этом объеме Т. Выясняется, что в нарисованных схемах нет места для постановки этого вопроса. Предлагается нарисовать схему для объема Т рис. 2.
• Соответственно схеме записывается решение: $$(24 + 32) : 8$$. Выполняются вычислительные действия с пояснением их смысла. Предлагается обратиться к первым двум схемам. В них на месте второго множителя нельзя записать вопросительный знак, но можно нарисовать окошко — вспомогательное неизвестное. Определяется и выполняется второй способ действия: $$(24 : 8) + (32 : 8)$$ Учащиеся оценивают, какой способ им представляется более рациональным.

Вычисли периметры многоугольников, произведя как можно меньше измерений.

Рекомендации из методики

• Выясняется, что периметры данных многоугольников равны периметрам прямоугольников, которые получатся, если «восстановить все вырезанные угловые части».