2023.04.19 вар 3 устный экзамен в 5 класс Лицей Воробьевы горы

Каждому из 15 учащихся пятого класса выдали по табличке, на которой написано натуральное число (таблички различные!) и сказали выстроиться в ряд в порядке возрастания чисел. В середине стоял Дима. Какое у него было число на табличке, если сумма всех чисел 127?

В клетках таблицы 3 × 3 стоят нули. Дима и Юра по очереди выбирали квадрат 2 × 2 и увеличивали на единицу все стоящие в нем числа. Могли ли они за несколько таких операций получить таблицу, изображенную на рисунке?

У Васи есть непрозрачный мешок с десятью одинаковыми на ощупь шариками, на которых написаны, не повторяясь, по одной все цифры от 0 до 9. Сколько шариков нужно достать Васе из мешка (не заглядывая в него), чтобы из цифр на этих шарах точно можно было составить число, которое делится на 9? Причем число однозначное, двузначное, трёхзначное, четырехзначное и т.д. (то есть не все шарики можно использовать)

На каждой клетке огромной доски размером 20 × 23 клетки (20 строк и 23 столбца) сидело по лягушке. По свистку каждая лягушка перепрыгнула на соседнюю клетку по горизонтали или диагонали. Сколько минимум клеток после этого оказались свободными?

За круглый стол сели 20 человек, которые являются представителями племени рыцарей, которые никогда не врут и представителями племени лжецов, которые никогда не говорят правду. Каждый из сидящих про своих двух соседей и того, кто сидит напротив (диаметрально противоположный человек) сказал одинаковую фразу: "Из этих трех только сидящий напротив является моим соплеменником". Сколько среди них могло быть рыцарей?

Пятилетний Артем очень любит играть в кубики и другие деревянные конструкторы. У него есть набор из 20 одинаковых тоненьких деревянных треугольничков таких, что из любых двух можно сложить прямоугольник 10 × 20 см. Все эти треугольнички были одним слоем уложены в квадратную коробку. Артем поиграл с треугольничками и теперь не может сложить их обратно. Помогите ему и покажите, как сложить из этих треугольничков квадрат.

У Люды в кладовке лежат пакеты. Среди них есть 20, которые лежат в пакетах, 15, в которых лежат пакеты, 10, которые лежат в пакетах, и в которых лежат пакеты, и ещё 3, в которых не лежат пакеты, и которые не лежат в пакетах. Сколько всего пакетов лежит у Люды в кладовке?