2023 весенняя олимпиада «Силаэдр», Школа им. Чуйкова Экзамен в 5 класс от 18 марта 2023

Шпион занимает одну клетку и видит на две клетки вперед, а также боковым зрением на одну клетку вправо и влево. Поставьте 8 шпионов на доску 4 × 4 так, чтобы никто никого не видел.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое максимальное количество клеток может "принадлежать" одному шпиону? Клетка "принадлежит" шпиону если он ее видит или он на ней стоит ("занимает"). 

b) Какое минимальное количество клеток может "принадлежать" одному шпиону? Клетка "принадлежит" шпиону если он ее видит или он на ней стоит ("занимает"). 

c) Раскрасим доску 4 × 4 шахматной раскраской, чтобы белый и черные цвета чередовались. Можно ли разместить всех шпионов на клетках одного цвета так, чтобы никто никого не видел?

c) Раскрасим доску 4 × 4 шахматной раскраской, чтобы белый и черные цвета чередовались. Можно ли разместить 4-х шпионов на клетках одного цвета, а 4-х шпионов на клетках другого цвета так, чтобы никто никого не видел?

По кругу выложили несколько апельсинов, мандаринов, яблок и груш. Известно, что рядом с фруктом каждого вида можно найти фрукт любого другого вида. Какое наименьшее количество фруктов могло быть выложено?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Может ли среди выложенных фруктов быть только одно яблоко?

Фермер посадил 233 индейки в 6 клеток, расположенных в ряд. Известно, что в одной из крайних клеток больше всего птиц, в другой - меньше всего, причем разница составляет 13 птиц. В клетке 3 на 6 птиц больше, чем в клетке 2. В клетке 5 на 2 птицы меньше, чем в клетке 1. В клетке 4 тридцать пять птиц, на три больше, чем в той клетке, где их меньше всего. Сколько птиц во второй клетке?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) В какой клетке меньше всего птиц?

b) Сколько птиц в первой клетке?

c) Какое суммарное количество птиц во второй и третьей клетках?

Покажите, как можно разрезать квадрат 5 × 5 на четыре части «по клеточкам» и сложить из этих частей два квадрата.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a)  Какое количество клеток будет содержать меньший из 2х итоговых квадратов?

b) Найдите вариант при котором произведение количества клеточек, из которых состоят вырезанные фигуры, равно 432. В ответе напишите количество клеточек из которых состоит каждая из 4-х вырезанных фигур.

с) Найдите вариант при котором произведение количества клеточек, из которых состоят вырезанные фигуры, равно 504. В ответе напишите количество клеточек из которых состоит каждая из 4-х вырезанных фигур.

На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате, на прямой оказалось ровно 65 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?

Гномы ушли работать, а Белоснежка скучает. Она выложила на стол кучку из пятнадцати камней. Каждую минуту Белоснежка разбивает одну кучку на две непустые, а затем в одну из них добавляет новый камень. Как Белоснежке получить с помощью таких действий семь одинаковых кучек?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) За какое минимальное количество минут Белоснежка сможет получить 7 одинаковых кучек?  

b) Сколько камней окажется в первых двух кучах через одну минуту, если Белоснежка хочет получить семь одинаковых кучек за минимальное время.

Сколько различных сумм можно получить, складывая несколько (два или больше) разных чисел из набора 2, 4, 6, 8, 10?

В наборе были гирьки массой 43, 70, 57 граммов, поровну каждого вида. Малыш потерял несколько гирек (менее пяти), взвесил остаток на весах и получил 20172 грамма. Сколько и каких гирек потерялось?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько гирь потерялось? Перечислите через запятую все возможные варианты.

b) Перечислите через запятую веса всех потерянных гирек.

Аарон сложил большой куб из маленьких одинаковых кубиков и покрасил некоторые грани большого куба. Потом он разобрал большой куб на маленькие кубики, и оказалось, что 45 из них не имеют ни одной покрашенной грани. Сколько граней большого куба покрасил Аарон?