2021 Вступительная работа в сборную 4 класса кружка Фрактал. Устная часть.

Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом - числа, сумма цифр которых равна 3 и т. д. На каком месте оказалось число 996?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) На каком месте стоит число 999?

b) Сколько есть натуральных чисел от 1 до 1000 с суммой цифр равной 26

c) Сколько есть натуральных чисел от 1 до 1000 с суммой цифр равной 25

Вдоль шоссе в ряд стоят фонарные столбы с номерами от 1 до 1001. В целях экономии электроэнергии было решено уменьшить их количество, и из фонарей начали выкручивать лампочки через две - первую выкрутили, две пропустили, затем опять одну выкрутили и две пропустили, и т. д. Сколько лампочек будет выкручено?

Аня и Катя играют в игру "Быки и коровы". Аня загадала четырeхзначное число с неповторяющимися цифрами, а Катя пытается это число угадать. Для этого она предлагает свои четырeхзначные числа (тоже с неповторяющимися цифрами), а Аня про каждое из них сообщает, сколько в нeм "быков" (т. е. цифр, которые не только присутствуют и в Катином числе, и в Анином, но даже стоят на одних и тех же местах) и "коров" (цифр, которые присутствуют в обоих числах, но стоят на разных местах). Катя предложила числа 5860, 1674, 9432 и 3017 и на каждое число получила ответ "2 коровы". Какие числа могла загадать Аня? Перечислите все возможные варианты.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько различных цифр в числах 1674 и 3017

b) Сколько различных цифр в числах 5860 и 9432

c) В каком разряде может находиться цифра 0 в четырехзначном числе Ани, если Катя назовет только два числа 5860 и 3017 вместо четырех?

d) Сколько цифр встречаются в числах Кати только 1 раз.

e) Сколько цифр встречаются в числах Кати только 2 раза.

f) Сколько цифр встречаются в числах Кати только 3 раза.

g) Сколько Аниных цифр встречаются в Катиных числах 5860 и 9432?

Квадрат 4 × 4 называется магическим, если в его клетках встречаются все числа от 1 до 16, а суммы чисел в столбцах, строках и двух диагоналях равны между собой. Шестиклассник Сеня начал составлять магический квадрат и поставил в какую-то клетку число 1. Его младший брат Лeня решил ему помочь и поставил числа 2 и 3 в клетки, соседние по стороне с числом 1. Сможет ли Сеня после такой помощи составить магический квадрат?

Однажды на остров Рыцарей (которые всегда говорят правду) и Лжецов (всегда лгут), приехал путешественник. Выйдя на берег, он встретил процессию из четырeх островитян, которые несли 12 красных и 4 синих шариков (по 4 каждый). Каждый из них высказал одно утверждение:

1. Первый сказал: «Красных шариков у меня меньше, чем синих».
2. Второй сказал: «Синих шариков у меня не меньше, чем красных».
3. Третий сказал: «Синих и красных шариков у меня поровну».
4. Четвeртый сказал: «Красных у меня не более одного».

Не можете ли Вы указать, сколько рыцарей могло быть среди них? Перечислите все возможные варианты.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько существует вариантов ответов?

b) Какое максимальное количество рыцарей могло быть в процессии?