ВМШ 2020 Класс 5-7 Продолжающие Серия 01

На рисунке справа вы видите семь фигурок в коробке. Каждую фигурку положили в коробку, двигая строго вниз. Приведите пример, в каком порядке могли укладывать фигурки в коробку. (Введите номера фигурок через запятую, начиная с той, которую положили первой.)

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какую фигуру можно положить первой. Перечислите через запятую все возможные варианты.

b) Какую фигуру можно положить второй. Перечислите через запятую все возможные варианты.

c) Какую фигуру можно положить третьей. Перечислите через запятую все возможные варианты.

d) Какую фигуру можно положить четвертой. Перечислите через запятую все возможные варианты.

Несколько ребят стали в ряд. Петя и Вася оказались соседями, причём Петя в ряду - седьмой слева, а Вася - одиннадцатый справа. Сколько человек могло быть в этом ряду? (Введите все варианты через запятую.)

Имеется несколько лампочек, некоторые из них соединены проводами. Сначала все лампочки погашены. Если прикоснуться к какой-то лампочке, то она и все её «соседи» (лампочки, напрямую соединённые с ней проводом) меняют своё состояние на противоположное (горящие - гаснут, не горящие - загораются). Напишите, к каким лампочкам последовательно надо прикоснуться, чтобы в итоге все лампочки зажглись за наименьшее количество касаний.

a) всего лампочек 4, и они соединены по циклу, как вершины квадрата (см рисунок). 

b) всего лампочек 10 и они соединены в цепочку. Лампочка с номером 0 не может нажиматься первой.

Петя взял из чисел 1, 2, …, 100 все числа, делящиеся на 3, и нашёл их сумму. Вася взял из чисел 1, 2, …, 100 все числа, дающие остаток 1 от деления на 3, и нашёл их сумму.

a) У кого сумма получилась больше?

b) На сколько?

a) На белой доске 8 × 8 разрешается выбрать любой квадратик 2 × 2, состоящий из четырёх клеток доски, и закрасить в нём левую нижнюю клетку в чёрный цвет. Так можно делать много раз. Сколько максимум можно получить чёрных клеток на доске?

b) Пол комнаты размером 10 × 11 расчерчен на клетки 1 × 1. Сколькими способами в этой комнате можно выбрать место для коврика 3 × 3, если коврик должен лежать на полу «по клеточкам»?

У Кащея было несколько сундуков с алмазами. Каждую ночь Кащей добавляет в каждый сундук по одному алмазу. Днём 1 августа в сундуках было всего 1200 алмазов. В один из дней Кащей принёс ещё новый пустой сундук, куда тоже стал каждую ночь класть по алмазу. Днём 31 августа в сундуках было всего 2022 алмаза. В какой день Кащей принёс новый сундук?

В каждую клетку таблицы 3 × 3 записали по числу, причём в центральную клетку записали число 179. Оказалось, что сумма соседей (по стороне) каждого числа одинакова. Чему равна сумма всех чисел в этой таблице?

На рисунке справа даны несколько точек. Соедините четыре из них отрезками, чтобы получился квадрат с вершинами в этих точках.

Разрежьте какой-нибудь прямоугольник на два одинаковых

a) пятиугольника

b) семиугольника.

Нарисуйте замкнутую ломаную из 10 звеньев, у которой 7 точек самопересечения, и каждые два соседних звена перпендикулярны друг другу.