6 класс СПб олимпиада Районный тур 18 ноября 2023

В магазине «Все для кухни» Саша купил кастрюлю, тарелку и пакет, чтобы сложить в него покупку. Он заметил, что стоимость кастрюли выражается трёхзначным числом рублей, не содержащим нулей в десятичной записи. Если из него вычеркнуть одну из цифр, получится стоимость тарелки. А если из стоимости тарелки вычеркнуть одну из цифр, получится стоимость пакета. Мог ли Саша потратить на свою покупку ровно 817 рублей?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько существует правильных вариантов для стоимости кастрюли?

b) Перечислите, через запятую, все возможные варианты стоимости кастрюли.

В городах А и Б живут оптимисты и пессимисты, при этом все они блондины или брюнеты. Каждый житель поехал утром в другой город на автобусе, а вечером вернулся. Оказалось, что в каждом автобусе, ходившем в тот день из А в Б, количество пессимистов было на треть больше числа блондинов. А в каждом автобусе из Б в А число брюнетов было на одну восьмую больше числа оптимистов. Кого больше среди жителей обоих городов вместе - блондинов или брюнетов - и во сколько раз?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Кого больше среди жителей обоих городов вместе - блондинов или брюнетов?

b) Во сколько раз блондинов или брюнетов суммарно во всех городах больше?

На бесконечном листе бумаги в треугольную клеточку можно закрашивать полосы шириной в одну клетку. Такие полосы бывают трех разных направлений. В одном направлении закрасили 5 полос, в другом 6, в третьем - 7. В результате некоторые клетки остались неокрашенными, некоторые покрашены 1 раз, некоторые 2, а некоторые даже 3 раза. Клеток, покрашенных 3 раза, оказалось 34 штуки. Сколько клеток покрашено 2 раза? Не забудьте обосновать ответ.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое максимальное количество треугольных клеточек может быть закрашено 2 раза, если закрасить 2 полоски из разных направлений (одну горизонтальную, другую по диагонали)?

b) Какое максимальное количество треугольных клеточек может быть закрашено 3 раза, если закрасить 3 полоски из разных направлений (одну горизонтальную и две из разных диагоналей)?

c) В горизонтальном направлении закрасили 7 полос, в другом направлении закрасили 6 полос. Какое максимальное количество треугольных клеточек может быть закрашено 2 раза?

d) В горизонтальном направлении закрасили 7 полос, в другом направлении закрасили 6 полос. Какое минимальное количество треугольных клеточек может быть закрашено 2 раза?

e) В горизонтальном направлении закрасили 7 полос, в другом направлении закрасили 6 полос. Какое минимальное количество треугольных клеточек можно закрасить 3 раза, закрасив 5 полос в третьем направлении?

f) В горизонтальном направлении закрасили 7 полос, в другом направлении закрасили 6 полос. Какое максимальное количество треугольных клеточек можно закрасить 3 раза, закрасив 1 полосу в третьем направлении?

g) В горизонтальном направлении закрасили 7 полос, в другом направлении закрасили 6 полос. Какое минимальное количество полос нужно закрасить в третьем направлении, чтобы количество треугольных клеточек, закрашенных 3 раза, было равно 34?

h) Сколько треугольных клеточек может быть закрашено 3 раза, если в одном направлении закрасили 7 полос, в другом 6, в третьем - 1? Перечислите все возможные варианты.

Натуральное число назовём крупноостаточным, если сумма остатков, которые оно даёт при делении на 125 и на 80, не меньше 102. Сколько существует крупноостаточных чисел, не превосходящих 1 000 000?