ЕГЭ-2024 Демонстрационный вариант №1

Основанием вписанной трапеции ABCD является диаметр окружности AD. На диагонали BD отмечена точка Е так, что BE = 7, при этом CD = 24. Найдите косинус угла AED.

Диагональ AC прямоугольника ABCD равна 41, а меньшая боковая сторона BC = 9. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите модуль разности векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{BO}.$

Объем конуса, вписанного в правильную пирамиду SABCD, равен 12. Найдите объем конуса, описанного около этой же пирамиды, если SA = 3?

Вася и Петя решили сыграть в шахматы. Чтобы определить, кто из них будет играть белыми фигурами, друзья договорились дважды кинуть игральную кость. Васе достанутся белые фигуры, если сумма за 2 броска составит 2, 3, 4, 11 или 12 очков. С какой вероятностью Петя будет играть белыми? Ответ выразите в процентах.

Ковбой Джон поспорил с другом, что попадет в бутылку с 10 метров. Он схватил со стола наугад один из 10 револьверов, среди которых только 6 пристреляны, и сделал выстрел. Джон попал, бутылка разлетелась на осколки. Найдите вероятность того, что ковбой стрелял из не пристрелянного револьвера, если вероятность попадания из пристрелянного оружия равна 80%, а из не пристрелянного – 30%. Ответ выразите в процентах.

Найдите корень уравнения: $\sqrt{3-2x}=-x.$ Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

Найдите значение выражения q(b – 3) + q(b + 3), если q(b) = 5b² = 2.

Функция y  =  f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наибольшее значение, если  f (−2) < f (5).

Два тела массой m = 12 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью υ = 14 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в Джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mυ²sin²α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 588 Джоулей?

Первую половину ралли «Шёлковый путь» Антон проехал со скоростью 60 км/ч. После этого гонщик решил ускориться и до финиша держал скорость 90 км/ч. Найдите среднюю скорость Антона.

На рисунке изображён график функции вида f(x) = a·cos(bπx + c) + d, где числа a, b, c и d – целые. Найдите $f\left(f\left( \frac{21}{2} \right)\right).$

Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 4,5x² + 6x – 1 на отрезке [0;3].

а) Решите уравнение $$ \frac{ \left( \sqrt{3} \operatorname{tg} \frac{πx}{3}+3 \right) \log_5\left( 1-\cos{\frac{2π x}{3}} \right)}{\log_{25}\left( \sqrt{2}\cos{\frac{πx}{3}} \right)}=0. $$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4,5;7,5].

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.

б) Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B₁N = $6\sqrt{5}.$

Решите неравенство $$ \sqrt[4]{x+\frac{3}{4}} \left( \log_4 \log_{\frac{1}{2}}|1+x| \right) \le 0.$$

Евгений решил взять кредит на покупку Лады Веста в размере 926800 рублей под 10% годовых, планируя расплатиться через 3 года. Банк предложил Евгению две схемы выплаты долга.

По первой схеме банк в конце каждого года начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Евгений переводит в банк фиксированную сумму, выплачивая так весь долг тремя равными платежами.

По второй схеме банк также увеличивает оставшийся долг на 10% в конце каждого года, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Евгением. Суммы, выплачиваемые в конце каждого года, уменьшают сумму долга каждый год на одну и ту же величину. По второй схеме первый платеж оказался для Евгения непосилен, тогда банк предложил кредит по второй схеме на 4 года. Какую схему выгоднее выбрать Евгению?

Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен $\sqrt{6}.$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $(4|x|-a-3)(x^2-2x-2-a) \le 0$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [−5; 4].

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а) 2023?

б) 2012?

в) 2016?

Если нет – объясните, почему, если да – определите цифры, задуманные Димой и Никитой.