ЕГЭ-2025 Демонстрационный вариант №2

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается сторон AB, BC, CD и AD в точках M, N, K и P соответственно. Известно, что AB = 10, CN = 3 и PD = 5. Найдите длину средней линии трапеции.

Найдите длину вектора $\vec{a} - \vec{b}.$

Точки M, N, P, Q лежат на боковых ребрах AS, BS, CS, DS правильной четырехугольной пирамиды SABCD соответственно и делят их в отношении 2 : 1, считая от вершины S. Высота пирамиды SO пересекает плоскость MNPQ в точке K. Найдите объем многогранника ABCDMNPQ, если AB = 4, KO = 9.

В жеребьевке Лиги Чемпионов принимают участие четыре команды из России: Спартак, ЦСКА, Динамо и Локомотив. Всего в жеребьевке участвует 32 команды. Записки с названиями команд лежат в урне, откуда их наугад вынимает организатор с целью распределения по группам. Найдите вероятность того, что записка «Спартак» будет вынута уже после того, как организатор достанет записки с надписями «ЦСКА», «Динамо» и «Локомотив». Ответ выразите в процентах.

Два завода производят аккумуляторы для автомобиля Лада Веста. По статистике, вероятность брака при производстве аккумулятора на первом заводе составляет 10%, на втором заводе – 30%. Контролер на сборочном конвейере случайно выбрал аккумулятор и проверил его исправность. Он оказался бракованным. Тогда контролер рассчитал, что данный бракованный аккумулятор с вероятностью 75% произведен на первом заводе. Определите, какая доля поставляемых на сборочный конвейер аккумуляторов производится на втором заводе? Ответ выразите в процентах.

Найдите корень уравнения: $x=\sqrt{3x+10}.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите их сумму.

Найдите значение выражения $(1-\log_3 18)( 1-\log_6 18).$

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Воздушный шар с плотной оболочкой, содержащий ν = 3 моль воздуха при давлении p₁ = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно озера. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=ανT\log_4 \frac{p_2}{p_1},$ где α = 6,35 – постоянная, T = 400 К – температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм) будет иметь воздух в шаре, если при сжатии воздуха была совершена работа в 22860 Дж.

Два велосипедиста, двигаясь из одной точки круговой трассы длины 3 км навстречу друг другу с постоянными скоростями, встретились через 5 минут. Затем они решили преодолеть дистанцию в несколько кругов, двигаясь из одной точки в одинаковом направлении. Известно, что один из велосипедистов в первый раз обогнал другого на круг через 15 минут, а к финишу более медленный пришел на 1 час позже. Из какого количества кругов состоял второй заезд велосипедистов?

На рисунке изображён график функции f(x) = b + logₐx. Найдите значение x, при котором f(x) = 2.

Найдите наибольшее значение функции $y=3+5x-5\sqrt{2}\sin{x}$ на отрезке $\left[ 0;\frac{\pi}{3} \right].$

а) Решите уравнение $$ \log_2 \sin{\left( \frac{\pi x}{12}+\frac{\pi}{12} \right)}+ \log_2 \sin{\left( \frac{\pi x}{12}+\frac{5 \pi}{12} \right)}=-1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–12;6].

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребре SD отмечена точка K так, что SK = KD. Точка L – середина стороны BC. Через точки A, K, L проведена плоскость, пересекающая ребро SC в точке N.

а) Докажите, что SN : NС = 2 : 1.

б) Найдите угол между плоскостями AKL и ABC, если AB = 5, а высота пирамиды равна 10.

Решите неравенство: $$ \frac{\log_{\sqrt[4]{2024}} \sqrt[4]{x+4}+\log_{\frac{1}{2024}}(13-x)}{|x^2+2x-3|-|2x^2-10x+8|} \ge0$$

Первого января Егор взял в банке кредит 6 млн рублей с месячной процентной ставкой 10% на 12 месяцев с погашением кредита по следующей схеме:
– в начале каждого месяца банк увеличивает долг на 10%;
– выплаты производятся в конце каждого месяца;
– каждая следующая выплата на 10% больше предыдущей.
Сколько рублей должна составлять первая выплата, чтобы Егор погасил свой кредит по указанной схеме за 12 месяцев?

К большей стороне треугольника ABC проведена биссектриса AD. Стороны треугольника равны 24, 40 и 56. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности.
а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9 : 10.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с биссектрисой AD.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$ a^2+9|x-3|+3\sqrt{x^2-6x+13}=4a+2|x-2a-3| $$ имеет хотя бы один корень.

Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.

а) Может ли А быть кубом целого числа?

б) Может ли А быть четвертой степенью целого числа?

в) Найдите наименьшее значение А.