ЕГЭ-2024 Большой тест по первой части

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH − высота, AC = 14, $\cos{A}=\frac{1}{7}.$ Найдите BH.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 50, sin∠BAC = 0,6. Найдите высоту AH.

В треугольнике ABC угол C равен 22°, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Биссектрисы углов B и C параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересакаются в точке E, а противоположную сторону пересекают в точках M и N так, что MN – средняя линия треугольника BEC. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Диагонали ромба относятся как 5:12. Периметр ромба равен 676. Найдите высоту ромба.

В равнобедренной трапеции основания видны из точки пересечения диагоналей под углом 2∙arctg3. Средняя линия трапеции равна 48. Найдите ее высоту.

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 117° и 63°. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC стороны AC = 8, BC = 15, угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

К окружности радиуса 5, вписанной в четырехугольник ABCD, проведены четыре касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 2, 3, 7 и 8. Найдите площадь данного четырехугольника.

Диагонали ромба ABCD равны 18 и 24. Найдите длину вектора $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}.$

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, E, D₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 6, AD = 4, AA₁ = 5 и точка E – середина стороны CD.

За круглый стол на 11 стульев в случайном порядке рассаживаются 9 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между девочками будет сидеть не менее трех мальчиков.

Хитрец смастерил игральный кубик в виде тетраэдра и отметил на его гранях числа от 1 до 4 (каждое число при броске может выпасть с вероятностью 25%). Потом он рассказал другу, что бросил свой кубик трижды, и в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что во втором броске у хитреца выпало 3 очка. Ответ выразите в процентах.

Две бригады производят ямочный ремонт дорог в городе N, устанавливая на место ямы заплатку. Известно, что заплатки первой бригады держатся больше года без разрушения с вероятностью 84%, а заплатки второй бригады – с вероятностью 64%. По статистике, в городе N на дорогах держится больше года 75% всех установленных заплаток. Какую часть ям в этом городе ремонтирует первая бригада? Ответ выразите в процентах.

При подозрении на наличие заболевания пациента отправляют на экспресс-тестирование. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 90% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 85% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 22,5% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на экспресс-тестирование, и тест оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Два человека каждый день раздают рекламные листовки на площади. Вероятность того, что первый человек к вечеру раздаст все листовки, равна 0,3. Вероятность того, что второй человек к вечеру раздаст все листовки, равна 0,4. Также известно, что они оба раздадут все листовки к вечеру с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что к вечеру у обоих человек на руках еще будут листовки. Ответ выразите в процентах.

Рабочий день дяди Джо длится 5 дней с понедельника по пятницу. Каждый день ему приносят в кабинет обед. Но дядя Джо так сильно устает на работе, что к концу недели с одинаковой вероятностью 60% забывает, чем его кормили на обед в тот или иной рабочий день. Найдите вероятность того, что к концу недели Джо будет помнить свой обед только за два дня из пяти. Результат округлите до целого числа процентов.

На планете Триптозавров принята троичная система исчисления, т.е. существуют только цифры 0, 1 и 2. Генератор случайных чисел одного из жителей этой планеты может выдавать одну из существующих цифр с равной вероятностью. Генератор запустили 9 раз. Во сколько раз вероятность события «цифра 2 выпала ровно пять раз» меньше вероятности события «цифра 2 выпала ровно четыре раза»?

Решите уравнение $\log_8 2^{\sqrt{6+5x}}=\frac{x}{3}.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму корней.

Найдите значение выражения $$ \frac{2024 \cdot \left( (1-\log_7 42)(1-\log_6 42) \right)^2}{\cos^2{15°}+7+\cos^2{75°}}. $$

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −3x − 4 или совпадает с ней.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀ = 2. Найдите значение производной функции g(x) = x³ – x ∙ f(x) + 5 в точке x₀, умноженное на 10.

Функция f(x) определена и непрерывна на полуинтервале [–4; 5). На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью υ₀ = 25 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5 м/с² до полной остановки. За t − секунд после начала торможения он прошёл путь S = υ₀t – ½ ∙ at² (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 52,5 метров. Если задача имеет несколько решений, в ответ укажите бóльшее значение времени. Ответ выразите в секундах.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 48 км/ч, вторую треть – со скоростью 56 км/ч, а последнюю – со скоростью 112 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 45 кругов по замкнутой трассе длиной 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 12,5 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20 минут? Ответ дайте в км/ч.

На быстрой зарядке телефон полностью заряжается за 1 час 20 минут, а на обычной – за 4 часа. Программист поставил полностью разряженный телефон сначала на обычную зарядку, а потом, когда нашёл нужный блок, переставил на быструю до окончания зарядки. Найдите общее время зарядки телефона, если известно, что на быстрой зарядке телефон находился одну треть от общего времени зарядки. Считайте, что и при быстрой, и при обычной зарядке телефон заряжается равномерно. Ответ выразите в минутах.

На рисунке изображён график функции f(x) = ax + |bx + c| + d, где числа a, b, c и d  – целые. Найдите корень уравнения ax + d = –20.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \frac{ax+b}{x+c},$ где числа a, b и c  – целые. Найдите $f(-1\frac{5}{6}).$

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = a \cdot \sin{(bπx + c)} + d,$ где числа a, b, c и d  – целые. Найдите $f\left( -\frac{44}{3} \right).$

Найдите наибольшее значение функции $y =7+12x-x^3$ на отрезке [–5; 3].

Найдите точку максимума функции $y= (x^2 - 10x + 10) \cdot e^{3-x}.$