VII Санкт-Петербургская математическая олимпиада
3 класс Тур 2 (очный) 7 февраля 2021

Покажите, по какой линии можно разрезать квадрат 6×6 клеточек на две части так, чтоб ни в одну из них нельзя было поместить квадратик 2×2.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Пусть сторона клетки равна 1. Какая длина линии, которой вы разрезали квадрат 6×6 клеточек на две части так, чтоб ни в одну из них нельзя было поместить квадратик 2×2?

b) Сколько клеточек содержит каждая из получившихся частей?

Меткий Костя без промахов кидает дротики в мишень странной формы – такую, как на рисунке. В треугольник попали 5 дротиков, в круг – 3, в прямоугольник – 7. Какое самое большое количество дротиков мог бросить Костя?

Пусть для записи какого-то числа использованы только цифры «0» и «1». Назовём такое число толстеньким, если в нём нулей больше, чем единиц. Назовём число худеньким, если единиц больше, чем нулей. На сколько больше худеньких пятизначных чисел, чем пятизначных толстеньких? 

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое количество пятизначных чисел состоят только из цифр 0 и 1.

b) Какое количество пятизначных чисел являются толстенькими?

У Люды 33 конфеты, а у Юли 6. Они договорились играть в такую игру: раз в день, после обеда, Юля подбрасывает монету. Если выпал орёл, то Люда съедает 2 своих конфеты, а одну отдаёт Юле. Если выпала другая сторона (решка), то Люда съедает одну свою конфету, а две отдаёт Юле. Какое максимальное количество дней может длиться эта игра?

У Васиной бабушки в деревне кошек в 3 раза больше, чем собак. Есть ещё гуси – их больше, чем кошек, а кроликов в 5 раз больше, чем гусей. Вдобавок есть ещё и несколько шаловливых поросят, которых боятся кошки. Всего животных 33. Сколько у бабушки может быть гусей?

Волк, Лиса, Колобок и Медведь в этой задаче – герои сказки «Колобок». Волк всегда говорит неправду обо всём, что касается Лисы, Лиса – обо всём, что касается Колобка, Колобок – Медведя, а Медведь – Волка. В остальных случаях все говорят правду. Однажды кто-то из них сказал: «Колобок перехитрил Медведя и ушёл от него». Потом добавил: «А вот Лису не перехитрил». Обе фразы, в соответствии со сказкой, оказались правдой. Кто это сказал?

В клеточки вписаны цифры 1, 3, 3, 3, 5, 7, 7, 7 и 8 – в каждой клетке одна цифра. Сумма чисел в горизонтальной полоске равна сумме чисел в вертикальной полоске. Чему может быть равна эта сумма?

У деда Мазая на озере есть несколько островов, соединённых мостами – так, как на рисунке. В половодье дед Мазай спас 9 зайцев и рассадил по одному на остров. Как только дед Мазай уплыл, непоседливые зайцы, как по команде, стали каждые пять минут перебегать на соседний остров. Какое наибольшее число зайцев сможет в какой-то момент оказаться на одном острове?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Пусть у деда Мазая всего 2 острова. И на каждый из них он посадил по одному зайцу. Как только дед Мазай уплыл, непоседливые зайцы, как по команде, стали каждые пять минут перебегать на соседний остров. Какое наибольшее число зайцев сможет в какой-то момент оказаться на одном острове?