VII Санкт-Петербургская математическая олимпиада
4 класс Тур 2 (очный) 7 февраля 2021

Напомним, что 1 января 2021 года – пятница. В этот день на Острове Невезения взяли и отменили понедельники (т.е. неделя у них теперь состоит из шести дней, после воскресенья сразу идёт вторник). Таким образом, 4 января по обычному календарю был понедельник, а по островному – вторник. Назовите самую первую после 3 января дату, когда день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым. Ответ введите в формате 31.12.21, где 31 дата, 12 месяц, а 21 год.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) В каком месяце находится самая первая, после 3 января, дата, когда день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым?

b) В какой день впервые, после 3 января, день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым?

На Острове Логики есть два племени: одды и евены. Одды лгут в компании, в которой нечётное число людей (а в остальных случаях говорят правду), а евены – в компании с чётным числом людей. В одной компании произошёл такой диалог:

• А: Здесь более 30 людей.
• Б: Нет, не более 30.

В этот момент заходит ещё один человек.

• А: Ну теперь и подавно более 30 людей.
• Б: Нет, и теперь не более 30.

Из каких племён А и Б?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Из какого племени А?

b) Из какого племени Б?

Палиндромом называется число, которое читается слева направо так же, как и справа налево. Вставьте как можно меньше цифр в число 112124151423111 так, чтобы оно стало палиндромом. Не забудьте объяснить, почему меньшим количеством вставленных цифр не обойтись.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое минимальное количество цифр можно добавить в 112124151423111, чтобы число стало палиндромом?

b) Какие палиндромы можно получить из числа 112124151423111, если добавить в него минимальное количество цифр.

Разрежьте фигурку на верхнем рисунке на три одинаковые по форме, но, возможно, разные по размеру части. Примечание: пример фигурок, одинаковых по форме, но разных по размеру, на нижнем рисунке.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое количество маленьких квадратиков получилось в трех частях, которые вы вырезали?

Буратино составил пример из цифр от 1 до 9, используя каждую цифру по разу. Ночью мышка Машка стянула несколько цифр, и вместо них оказались звёздочки. Остался пример 4∗6 + 3∗∗ = 7∗8. Докажите, что Буратино составил неверный пример. 

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какие цифры могут стоять в разряде единиц второго слагаемого?

b) Какие цифры могут стоять в разряде десятков, если исключить цифру, которая стоит в разряде единиц второго слагаемого?

Имеется 10 гирек массой от 1 до 10 г, но неизвестно, какая гирька имеет какую массу. Про любую пару гирек можно спросить, верно ли, что масса большей делится на массу меньшей, и получить ответ «да» или «нет». Трогать гири нельзя, а по внешнему виду невозможно определить, какая гиря тяжелее. Веса каких гирек можно точно определить такими вопросами? В ответе перечислите все такие веса в граммах, но без указания единиц измерения.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 1 г и других гирек?

b) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 2 г и других гирек?

c) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 3 г и других гирек?

d) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 4 г и других гирек?

e) Вес каких гирь мы сможем узнать, если продолжим взвешивать каждую гирю со всеми другими?

f) Сможем ли мы отличить гири с четным весом от гирь с нечетным весом, если мы нашли гирю в 2 грамма?

В таблице 8×8 расставлены натуральные числа. В левом верхнем квадратике 3×3 сумма чисел равна 40, а в правом нижнем квадрате 5×5 – 76. Может ли оказаться, что во всех строках и во всех столбцах суммы чисел равны?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Предположим, что у нас получилось расставить числа во все клетки, так, чтобы во всех строках и во всех столбцах суммы чисел оказались равными. Чему может быть равна сумма чисел из всех клетках таблицы? Перечислите все возможные варианты.

b) Предположим, что мы расставили натуральные числа в каждую ячейку левого верхнего квадрата 3×3 и правого нижнего квадрата 5×5. В какое количество ячеек нам осталось расставить натуральные числа, чтобы заполнить всю таблицу?

В городе Странном есть только одна улица, но она очень длинная, кривая и неоднократно пересекает сама себя. К тому же у этой улицы нет ни начала, ни конца. (Пример такого города изображён на рисунке.) Услышав эту информацию, барон Апельсин заявил, что в этом городе должен существовать квартал, граничащий с одним или с двумя перекрёстками (в примере на рисунке такие кварталы отмечены буквами). Прав ли он?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Представим нашу дорогу в виде графа.

• Пусть пересечения дорог будут вершинами графа
• Пусть дороги от одного пересечения до другого пересечения будут ребрами графа.

Для упрощения, добавим дополнительное требование. Пусть наша дорога в каждой точке может пересекать саму себя только один раз.

Вопрос. Сколько ребер будет выходить из каждой вершины такого графа? Перечислите все возможные варианты.

b) В дополнение к условию "a"  разделим все вершины графа на "внешние" и "внутренние".

• Внешними вершинами назовем те, из которых можно "уйти" бесконечно далеко от дороги, не пересекая дорогу ни одного раза.
• Прочие вершины назовем "внутренними".

Расположим несколько "внешних" вершин на окружности и соединим  некоторые из этих вершин между собой. Каждые две "внешние" вершины можно соединять одной, двумя, тремя или четырьмя линиями.

Вопрос: Сколько ребер будет выходить из каждой "внутренней" вершины такого графа? Перечислите все возможные варианты.

c) Попробуйте доказать, что барон Апельсин неправ. Нарисуйте на окружности 4 "внешние" вершины и соедините их друг с другом несколькими ребрами, так, чтобы в итоговом графе "не существовало квартала, граничащего с одним или с двумя перекрёстками".

d) Попробуйте доказать, что барон Апельсин неправ. Нарисуйте на окружности 5 "внешних" вершин и соедините их друг с другом несколькими ребрами, так, чтобы в итоговом графе "не существовало квартала, граничащего с одним или с двумя перекрёстками".