VII Санкт-Петербургская математическая олимпиада
4 класс Тур 2 (очный) 7 февраля 2021

Напомним, что 1 января 2021 года – пятница. В этот день на Острове Невезения взяли и отменили понедельники (т.е. неделя у них теперь состоит из шести дней, после воскресенья сразу идёт вторник). Таким образом, 4 января по обычному календарю был понедельник, а по островному – вторник. Назовите самую первую после 3 января дату, когда день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) В каком месяце находится самая первая, после 3 января, дата, когда день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым 

b) В какой день впервые, после 3 января, день недели и по обычному, и по островному календарям будет одинаковым 

На Острове Логики есть два племени: одды и евены. Одды лгут в компании, в которой нечётное число людей (а в остальных случаях говорят правду), а евены – в компании с чётным числом людей. В одной компании произошёл такой диалог:

• А: Здесь более 30 людей.
• Б: Нет, не более 30.

В этот момент заходит ещё один человек.

• А: Ну теперь и подавно более 30 людей.
• Б: Нет, и теперь не более 30.

Из каких племён А и Б?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Из какого племени А?

b) Из какого племени Б?

Палиндромом называется число, которое читается слева направо так же, как и справа налево. Вставьте как можно меньше цифр в число 112124151423111 так, чтобы оно стало палиндромом. Не забудьте объяснить, почему меньшим количеством вставленных цифр не обойтись.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое минимальное количество цифр можно добавить в 112124151423111, чтобы число стало палиндромом?

b) Какие палиндромы можно получить из числа 112124151423111, если добавить в него минимальное количество цифр.

Разрежьте фигурку на верхнем рисунке на три одинаковые по форме, но, возможно, разные по размеру части. Примечание: пример фигурок, одинаковых по форме, но разных по размеру, на нижнем рисунке.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какое количество маленьких квадратиков получилось в трех частях, которые вы вырезали?

Буратино составил пример из цифр от 1 до 9, используя каждую цифру по разу. Ночью мышка Машка стянула несколько цифр, и вместо них оказались звёздочки. Остался пример 4∗6 + 3∗∗ = 7∗8. Докажите, что Буратино составил неверный пример. 

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Какие цифры могут стоять в разряде единиц второго слагаемого?

b) Какие цифры могут стоять в разряде десятков, если исключить цифру, которая стоит в разряде единиц второго слагаемого?

Имеется 10 гирек массой от 1 до 10 г, но неизвестно, какая гирька имеет какую массу. Про любую пару гирек можно спросить, верно ли, что масса большей делится на массу меньшей, и получить ответ «да» или «нет». Трогать гири нельзя, а по внешнему виду невозможно определить, какая гиря тяжелее. Веса каких гирек можно точно определить такими вопросами? В ответе перечислите все такие веса без указания единиц измерения.

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 1 г и других гирек?

b) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 2 г и других гирек?

c) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 3 г и других гирек?

d) Сколько ответов "да"  можно получить, если составить все возможные пары из гири 4 г и других гирек?

e) Вес каких гирь мы сможем узнать, если продолжим взвешивать каждую гирю со всеми другими?

f) Для какого количества гирь мы сможем узнать их вес, если продолжим взвешивать каждую гирю со всеми другими?

g) Сможем ли мы отличить гири с четным весом от гирь с нечетным весом, если мы нашли гирю в 2 грамма?

В таблице 8×8 расставлены натуральные числа. В левом верхнем квадратике 3×3 сумма чисел равна 40, а в правом нижнем квадрате 5×5 – 76. Может ли оказаться, что во всех строках и во всех столбцах суммы чисел равны?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Предположим, что у нас получилось расставить числа во все клетки, так, чтобы во всех строках и во всех столбцах суммы чисел оказались равными. Чему может быть равна сумма чисел из всех клетках таблицы? Перечислите все возможные варианты.

b) Предположим, что мы расставили натуральные числа в каждую ячейку левого верхнего квадрата 3×3 и правого нижнего квадрата 5×5. В какое количество ячеек нам осталось расставить натуральные числа, чтобы заполнить всю таблицу?

В городе Странном есть только одна улица, но она очень длинная, кривая и неоднократно пересекает сама себя. К тому же у этой улицы нет ни начала, ни конца. (Пример такого города изображён на рисунке.) Услышав эту информацию, барон Апельсин заявил, что в этом городе должен существовать квартал, граничащий с одним или с двумя перекрёстками (в примере на рисунке такие кварталы отмечены буквами). Прав ли он?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Представим нашу дорогу в виде графа.

• • Пусть пересечения дорог будут вершинами графа
  • Пусть дороги от одного пересечения до другого пересечения будут ребрами графа.

Для упрощения, добавим дополнительное требование. Пусть наша дорога в каждой точке может пересекать саму себя только один раз.

Вопрос. Сколько ребер будет выходить из каждой вершины такого графа? Перечислите все возможные варианты.

b) В дополнение к условию "a"  разделим все вершины графа на "внешние" и "внутренние".

• • Внешними вершинами назовем те, из которых можно "уйти" бесконечно далеко от дороги, не пересекая дорогу ни одного раза.
  • Прочие вершины назовем "внутренними".

Расположим несколько "внешних" вершин на окружности и соединим  некоторые из этих вершин между собой. Каждые две "внешние" вершины можно соединять одной, двумя, тремя или четырьмя линиями.

Вопрос: Сколько ребер будет выходить из каждой "внутренней" вершины такого графа? Перечислите все возможные варианты.

c) Попробуйте доказать, что барон Апельсин неправ. Нарисуйте на окружности 4 "внешние" вершины и соедините их друг с другом несколькими ребрами, так, чтобы в итоговом графе "не существовало квартала, граничащего с одним или с двумя перекрёстками".

d) Попробуйте доказать, что барон Апельсин неправ. Нарисуйте на окружности 5 "внешних" вершин и соедините их друг с другом несколькими ребрами, так, чтобы в итоговом графе "не существовало квартала, граничащего с одним или с двумя перекрёстками".