VIII Санкт-Петербургская математическая олимпиада
4 класс Тур 1 (отборочный). 12 ноября 2021

В волшебном лесу жили двадцать фей-близняшек. На их общий День рождения гномы подарили восьми феям по цветку, а эльфы подарили десяти феям по яблоку. В итоге пять фей, увы, остались без подарка. Сколько фей получили в подарок и цветок, и яблоко? 

Сколько есть различных способов разбить числа от 1 до 30 на пары так, чтобы в каждой паре сумма чисел была чётная?

Дополнительные вопросы от minimath239:

a) Сколько есть различных способов разбить числа от 1 до 4 на пары так, чтобы в каждой паре сумма чисел была чётная?

b) Сколько есть различных способов разбить числа от 1 до 6 на пары так, чтобы в каждой паре сумма чисел была чётная?

Аркадий сложил из спичек квадрат, почти такой же, как на рисунке, только размерами не 3 × 3, а 300 × 300. Сколько спичек использовал Аркадий?

В ряд стоят четыре ящика, в каждом лежит некоторое (ненулевое) количество дынь. Причём, чем правее ящик, тем больше в нем дынь. В последнем ящике дынь на 5 больше, чем в первом. Общее количество дынь равно 20. Сколько дынь во втором ящике? Укажите все возможные варианты.

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 9, в записи которого использованы только чётные цифры.

На игральный кубик наносят точки так, чтобы на любых двух его противоположных сторонах было в сумме ровно семь точек. Аркадию подарили 27 одинаковых кубиков (один из них вы можете видеть на рисунке). Он составил из них на непрозрачном столе куб 3 × 3 × 3 и стал считать количество тех точек, которые видны, то есть расположены на видимых сторонах большого куба. Какое наименьшее количество точек мог насчитать Аркадий?

Сумма цифр четырёхзначного числа n равна 20. Какая самая маленькая сумма цифр может быть у числа n + 2?

На Марсе живут 63 марсианина, одни из них – красные, другие – зелёные. Однажды они решили высадить яблоневый сад. Каждый красный марсианин посадил по 5 яблонь, а каждый зелёный – по 6. Скоро яблони зацвели, и на каждой из них выросло по 10 яблок. Вышло так, что урожай собирали только зелёные марсиане, и каждому из них досталось ровно по 100 яблок. Сколько на Марсе красных марсиан?

В корзине лежит 100 грибов: моховики, подберёзовики, лисички и сыроежки. Если взять наугад любые 90 грибов, то среди них обязательно найдутся все четыре вида. Сколько грибов нужно взять из корзины наугад, чтобы среди них обязательно нашлись хотя бы три различных вида грибов?

Для каждого трёхзначного числа, в записи которого не используется цифра 0, Аркадий вычислил сумму наименьшей и наибольшей его цифры. Все полученные суммы Аркадий сложил. Сколько у него получилось?